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Comment calculer la valeur de versements fixes et croissants

 

Si vous n’avez pas lu notre article Intérêt composé expliqué…mais pas compliqué et que vous êtes nouveau à ce type de calcul, on vous invite à commencer par cette introduction. Par contre, si vous vous sentez d’attaque, il nous fait grand plaisir de pousser la question un peu plus loin en regardant dans le détail comment on calcule la valeur d’une série de versements ou d’une annuité pour parler le jargon du monde des finances.

 

Nous allons regarder deux sortes de versements, les versements à valeur fixe et croissante. Bien des références se contentent d’expliquer uniquement les mathématiques derrière les versements dont la valeur ne change pas (comme dans le cas d’une hypothèque à taux fixe) mais ceci représente qu’une mince tranche de la réalité. En général, nos obligations augmentent dans le temps. Vous n’avez qu’à penser à vos primes d’assurances pour avoir un bel exemple.

 

Cette croissance peut aussi exister au niveau des économies!

Ceci reflète bien mieux ce que la majorité des personnes économes vivent. Nous commençons avec un salaire modeste et un mode de vie équivalent. Avec le temps, on accumule de l’expérience, on gravit les échelons et on gagne plus d’argent. Ceux qui maintiennent un mode de vie simple mais agréable, ont alors, à chaque année,  un montant de plus en plus important à investir pour leurs projets de retraite ou autres ambitions. En effet, c’est important que les versements augmentent à chaque année, ne serais-ce que pour pallier à l’inflation.

 

Mais bon, l’inflation c’est un sujet en soi pour un autre article…

 

Alors comment fait-on pour calculer la valeur future d’une série de versements?

Versements à valeur fixe (annuité fixe)

Nous avons déjà fait l’exercice dans Intérêt composé expliqué…mais pas compliqué pour démontrer comment il est possible de prendre sa retraite en 10 ans! Mais un petit rappel n’est jamais perdu, alors pour illustrer notre propos, parlons cette fois-ci, de jardinage!

 

Dans Comment économiser 100 000$ en jardinant, on dévoile que nous économisons 500$ par année, grâce à notre jardin, et ce depuis 10 ans.

 

Si nous avions investi ce 500$ à chaque année au taux de 5% pour 10 ans, quelle serait la valeur aujourd’hui ces ces versements égaux?

 

Comme le taux d’intérêt et la fréquence de calcul des intérêts sont tous les deux annuels ont peut prendre la formule simplifiée
 

\bf { V }_{ f }=PMT \times \left[ { \left( 1+i \right) }^{ n }-1 \right ] /i

 
Vf = valeur futur

Vi = valeur initiale

PMT = paiement (ou dans le cas RR, investissement)

i = taux annuel nominal

n = nombre d’années

 

\bf { V }_{ f }=PMT \times \left[ { \left( 1+i \right) }^{ n }-1 \right ] /i
 

= 500*((1+0.05)^10-1)/0.05

= 500*(0.629)/0.05

= 500*12.578

= 6 288.95$

 

C’est pas mal, mais c’est loin du 100 000$ promis!

Versements à valeur croissante (annuité croissante)

Mais attendez une minute, nous n’avons pas l’intention d’arrêter de jardiner. Nous pensons continuer pendant encore 25 ans au moins. Et nos connaissances et techniques s’améliorent à chaque année. Nous croyons pouvoir retirer 10% de plus de valeur de notre jardin à chaque année. Donc, 500$ cette année, 550$ l’année prochaine, 605$ l’année suivante et ainsi de suite… Nous avons donc affaire à un versement croissant! 

 

Pour calculer la valeur future d’un versement croissant il suffit d’utiliser la formule suivante:

 
\bf { V }_{ f }=PMT \times \left[ { \left( 1+i \right) }^{ n }-{ \left( 1+c \right) }^{ n } \right] /{ \left( 1+c \right) }
 

Vf = Valeur future

PMT = paiement initial

i = taux d’intérêt nominal

n = nombre de périodes

c = taux de croissance des paiements

 

Alors, si nous investissons la valeur croissante des économies dues à nos efforts de jardinage à 5% pour les 25 prochaines années. Nous aurons au bout de 25 ans la somme suivante:

 

 
\bf { V }_{ f }=PMT \times \left[ { \left( 1+i \right) }^{ n }-{ \left( 1+c \right) }^{ n } \right] /{ \left( 1+c \right) }
 

= 500[(1+0.05)25 – (1+0.10)25]/(0.05-0.1)

= 500[3.386-10.835]/-0.05

= 500(148.96)

= 74 483.51$

 

À ce montant nous devons ajouter la valeur des 10 dernières années qui, bon an mal an, continue à accumuler des intérêts composés entre temps.
Ce qui revient à calculer la valeur future de 6288.95$.

 

 
\bf { V }_{ f }={ V }_{ i } \times { \left( 1+i \right) }^{ n }
 

= 6 288.95*(1 + 0.05)25

= 6 288.95*3.386

= 21 296.62$

Pour un total de 95 780.13$ (74 483.51 + 21 296.62)

 

Ajoutez les coûts économisés en paysagement, électricité ou essence pour faire rouler la tendeuse etc… et nous arrivons facilement à 100 000$ d’économies!

 

675 mots (ou chiffres) pour comprendre comment économiser 100 000$. C’est pas pire, n’est-ce pas?

 

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