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Intérêt composé expliqué…mais pas compliqué!

L’intérêt composé est la plus grande invention de l’homme.

— Albert Einstein*

Dans notre article de suivi budgétaire Budget versus réalité – Février 2016 on vous invite à vous intéresser aux intérêts composés. En fait, plusieurs de nos calculs, dont ceux dans Comment prendre sa retraite à 40 ans et Le plan de retraite de la famille Riche Relaxe, en dépendent.

 

On a donc décidé, qu’avant de se lancer dans des questions plus complexes (impôts, investissements etc…), qu’on commencerait plutôt par vous proposer une explication de base sur les intérêts composés.

 

N’inquiétez-vous pas, nul besoin d’être Einstein pour bien saisir le concept!

 

On souhaite, qu’à la fin de cet article, vous compredrez mieux le pouvoir de la chose et serez motivé à mettre à profit ces nouvelles connaissances (ou de vielles connaissances rafraichies) pour faire vos propres calculs.

 

L’Office québécois de la langue française propose la définition suivante pour intérêts composés :

Intérêts calculés sur un capital accru de ses intérêts accumulés.

 

Bon disons que pour les non-initiés, cela n’aide pas beaucoup à la compréhension!

 

 

Simplement dit, l’intérêt composé, c’est lorsque l’intérêt accumulé est ajouté au montant de départ, pour générer de l’intérêt à son tour.

 

 

Un peu de terminologie

Le taux d’intérêt nominal vous donne la vitesse à laquelle les intérêts s’accumulent.

Pour l’intérêt simple, où les intérêts ne contribuent pas à l’accumulation de richesse, l’histoire se termine ici.

Écureuil_attention

 

Mais attention!

Pour l’intérêt composé, l’action de réinvestir les intérêts fait augmenter le capital et conséquemment les intérêts que cette somme peut générer.  Il va de soi que, plus on ajoute les intérêts au capital souvent, plus vite ont met chaque dollar à l’œuvre pour faire augmenter le total des intérêts.

 

Cette vitesse de réinvestissement est nommée période de calcul de l’intérêt.

 

Si on ajuste le taux d’intérêt pour prendre en considération cette période de calcul, on parle du taux équivalent ou taux effectif.

 

Ça suffit le dictionnaire, retournons à nos moutons…ou devrais-je dire à nos lapins?

 

 

Imaginez que vous partez une entreprise d’élevage de lapins.

Chaque lapin est comme un employé qui travaille pour vous. Plus les lapins se reproduisent souvent, plus vous aurez de lapins qui se reproduisent !

 

Cas 1 – Disons que vous avez 100 lapins qui ont un taux de reproduction de 60%.

Si vous empêchez les nouveaux lapins de se reproduire (par exemple, en séparant les nouveaux lapins mâles des femelles) pour vous fier seulement sur la reproduction des 100 lapins d’origine, vous aurez à chaque année 60 nouveaux lapins, sans plus !

 

Ecureuil_InteretSimple

Si vous continuez ainsi pour 10 ans vous aurez à la fin un beau cheptel de 700 lapins (10 x 60 = 600 lapins plus les 100 de départ).

Vous nous suivez ? Oui, alors faisons ensemble un bond par en avant!

 

Cas 2 – Qu’arriverait-il vous ajoutiez les 60 nouveaux lapins au groupe de départ ?

Et bien les 100 lapins donneraient naissance à leur habituel 60 lapins la première année, mais la deuxième année, c’est 60 nouveaux lapins se reproduiraient également, ce qui ajouterait 36 bébés  lapins au groupe (0.6 X 60 = 36) !

 

 

Ecureuil_InteretCompose

Vous auriez donc,  la deuxième année, 96 nouveaux lapins au lieu de 60 !

Pour un total de 256 au bout de la deuxième année (100 + 60 + 96)…

Et au bout de 10 ans… 10 995 lapins !

Wow ! C’est pas mal plus que 700 !

 

Cas 3 – Et si les lapins ne prennent pas un an à se reproduire mais un mois ?

Gardons le taux de reproduction de 60% annuellement. Ramené à un taux mensuel de 5% (60% divisé par 12 mois = 5%), le premier mois, 5 nouveaux lapins s’ajoutent au groupe reproductif. Le deuxième mois, c’est donc 105 lapins qui se reproduisent à un taux de 5%, et ainsi de suite à chaque mois.

 

À la fin de l’année vous aurez 180 lapins, au lieu de 160.

Et au bout de 10 ans vous serez ensevelis sous 34 891 lapins !

C’est toute qu’une différence !

 

Evidemment, ceci tient seulement si vous n’en vendez aucun et que vous arrivez à loger et nourrir tous les membres de cette prodigieuse famille.

 

Voici ce que tout ceci donne en image…

 LapinInc_Graph

 

Et en chiffres…

LapinInc_Tableau

 

Lorsque vous regardez la différence de croissance entre les intérêts simple, annuels et mensuels, soudainement, c’est facile de voir l’importance de la période de calcul des intérêts! Et plus le taux d’intérêt est élevé, plus cet effet est prononcé!

 

 

Voilà le pouvoir de l’intérêt composé !

Ces trois cas de figure représentent bien

  • L’intérêt simple (Cas 1)
  • L’intérêt composé annuel (Cas 2)
  • L’intérêt composé mensuel (Cas 3).

 

Pour revenir au monde des finances personnelles, vous n’avez qu’à remplacer chaque lapin pas un dollar et le tour est joué.

Pour ce qui est de la terminologie, les lapins de départ représentent votre capital et les petits nouveaux représentent les intérêts accrus sur le capital.

 

Voilà qu’on retrouve la définition de l’Office québécois de la langue française !

 

 

Et s’il s’agit d’un prêt, au lieu d’un investissement?

C’est pareil, sauf que vous devez les montants au lieu de les accumuler!

Pour comprendre l’impact pour un prêt, dans le contexte de notre analogie, imaginez que vous avez emprunté vos 100 premiers lapins. Pour rembourser votre créancier de manière équitable après 10 ans, vous devriez lui remettre le nombre de lapins qu’il aurait eu (moins les coûts pour les héberger) s’il avait gardé lui-même ces lapins.  Comme l’argent ne coûte presque rien à héberger on ignore ce petit détail.

 

Alors, lorsque vous vous entendez sur le taux, assurez-vous aussi de vous entendre sur la période de calcul de l’intérêt. Si votre créancier pense que ces lapins se reproduisent quotidiennement, mais qu’en réalité ils se reproduisent mensuellement (tel que qu’illustré par le cas 3) il va s’attendre à recevoir 40 145 lapins après 10 ans

 

Seriez-vous en mesure de les fournir?

Non! Il va vous manquer 5254 lapins! (40 125 – 34 891)

Et si on parle d’un prêt de 100$…il vous manquerait 5254$ pour payer votre créancier!

Soudainement, c’est moins drôle!

 

Pour les lapins, comme pour l’argent, une période de calcul de l’intérêt composé courte est favorable lorsqu’on investit… mais traitre lorsqu’on emprunte!

 

Il est donc essentiel de connaître le taux d’intérêt ET la fréquence de calcul de l’intérêt si vous voulez avoir le vrai portrait de ce qu’on vous propose, que ce soit un investissement ou un prêt!

 

 

Ne peut-on pas avoir ces deux informations dans un seul chiffre?

Oui, certainement! Il s’agit justement du taux équivalent ou taux effectif annuel.

 

Pour permettre des comparaisons justes, et éviter que certains prennent avantage des subtilités reliées à la période de calcul des intérêts, plusieurs gouvernements obligent que les taux soient convertis en taux équivalent annuel pour les fins de publication.

 

Malgré ce fait, les publicitaires font de leur mieux pour mettre en évidence le chiffre qui les avantage le plus. Pour les outils de financement, ils vont vous présenter en grande pompe leur taux annuel bas (Annual Percentage Rate – APR en anglais). Ensuite, avec un niveau de volume réduit ou en caractères minuscules, ils vont vous donner ce qui compte vraiment…le taux équivalent ou effectif (Annual Percentage Yield – APY).

 

Le taux effectif c’est le rendement réel!

 

Pour un investissement c’est ce que vous recevez, pour un prêt c’est ce que vous devez (ou vu d’un autre angle, le rendement réel du prêteur). Le taux effectif ou équivalent est la seule façon de comparer équitablement la multitude d’offres qu’on nous présente.

 

 

Un exemple?

J’ai souvent vu des cartes de crédit affichant un taux d’intérêt de 18% sur les soldes non payés.

Mais ce taux a une période de calcul d’intérêt mensuel!

Si on converti ce taux de 18% en taux équivalent annuel, on parle réellement de 19.56%.

 

Besoin de voir ça en image?

Si on reprend le taux de 18%, voici ce que ça donne visuellement pour 1000$ sur un horizon de 10 ans, pour différentes périodes de calcul d’intérêts.

PeriodeCalcul_Graph

 

 

Rapidement les courbes s’écartent!

La différence entre le taux annuel et le taux quotidien, vaut 813.12$ sur 10 ans!

Quand on se rappelle que ces calculs sont basés sur un capital de 1000$, c’est un important pourcentage du montant de départ.

 

 

Mais comment arrive-t-on à tous ces chiffres?

Ecureuil_Caculatrice

Attention, à partir de ce point, on sort les formules!

On vous assure qu’il n’y a rien de sorcier, ni de compliqué.

On vous encourage à continuer de lire, surtout si vous voulez savoir comment on arrive à se calculer un plan de retraite en juste 10 ans!

 

Pour faire la conversion entre un taux nominal et un taux équivalent ou effectif

Voici la formule pour faire cette conversion :

 

Te = (1+i/n)n – 1

Te = taux équivalent annuel

 

Vous voulez connaître votre total et non le taux?

Pour connaître la valeur future d’un montant de capital initial, pour une période de calcul annuelle, il s’agit d’utiliser la formule suivante :

 

Vf = Vi * (1 + i)t

Vf = valeur future

Vi = valeur initiale

i = taux d’intérêt nominal

t = nombre d’années

 

Si, par contre, la période de calcul des intérêts n’est pas annuelle, vous devez utiliser la formule suivante pour arrimer la période et le taux :

 

Vf = Vi * (1 + i/n)nt

n = fréquence de calcul de l’intérêt

 

Ici la subtilité est que vous devez utiliser la bonne fréquence de calcul des intérêts, n.

Si on parle d’intérêts composés mensuellement n = 12. Puisqu’il y a 12 périodes de calcul dans l’année. Si l’intérêt est composé à tous les jours n = 365. Avec cette formule vous avez toute la latitude de calculer selon la période de calcul de votre choix!

 

 

Reprenons notre exemple de Lapin Inc. 

Essayons de trouver combien de lapins aurait Lapin Inc après 5 ans, si on a une période de calcul mensuel et un taux de 60%.

 

Vf = Vi * (1 + i/n)nt

= 100 * (1 + 0.6/12)5*12

= 100 * (1.05)60

= 1868 lapins!

 

Allez, essayer-vous! Est-ce que nos calculs pour Lapin Inc sont exacts?

 

 

Mais comment applique-t-on ceci dans la vraie vie?

Les calculs d’intérêts composés sont utiles dans plein de situations en finances personnelles. Dès que vous empruntez ou prêtez de l’argent, il en est question. Si vous avez une carte de crédit, un hypothèque ou des placements à taux fixe, vous êtes touchés par les intérêts composés. Si vous êtes comme nous, vous allez surement vouloir faire de savants calculs pour planifier votre futur retraite anticipée.

Alors retroussez vos manches et sortez vos calculatrices!

 

Voici un calcul montrant comment accéder à une retraite Riche et Relaxe en 10 ans!

Capital de départ = 10 000$

Montant investi par année = 30 000$/année

Temps = 10 ans

Taux = 5%

 

Voici comment on calcule la valeur futur d’une série de versements

Vf = PMT * (((1 + i/n)nt – 1) / (i/n))

Vf = valeur futur

Vi = valeur initiale

PMT = paiement (ou dans le cas RR, investissement)

i = taux annuel nominal

n = fréquence de calcul de l’intérêt

t = nombre d’unités de temps

 

Si on combine la formule pour calculer les intérêts sur le capital de départ avec la formule pour calculer la valeur futur d’une série de versements annuels on obtient :

 

Vf = [Vi * (1 + i/n)nt] + [PMT * (((1 + i/n)nt – 1) / (i/n))]

= [10 000 * (1 + 0.05/1)10] + [30 000 * (((1 + 0.05/1)10 – 1) / (0.05/1))]

= [10 000 * (1 + 0.05/1)10] + [30 000 * (((1 + 0.05/1)10 – 1) / (0.05/1))]

= 16 288.95 + 377 336.78

= 393 625.73$

 

Encore une fois, le plus tôt vous mettez ces sommes à l’œuvre, le plus ça vous rapporte!

 

Alors qu’arrive-t-il si vous faites le petit geste de contribuer mensuellement 2 500$ (30 000$/12) au lieu d’attendre la fin de l’année?

 

Vf = [Vi * (1 + i/n)nt] + [PMT * (((1 + i/n)nt – 1) / (i/n))]

= [10 000 * (1 + 0.05/1)10] + [2 500 * (((1 + 0.05/12)120 – 1) / (0.05/12))]

= [10 000 * (1 + 0.05/1)10] + [2 500 * (((1 + 0.05/12)120 – 1) / (0.05/12))]

= 16 288.95 + 388 205.70

= 404 494.65$

 

Si vous avez la chance d’être en couple avec quelqu’un qui partage la philosophie Riche Relaxe, à deux vous pouvez mettre de côté plus de 800 000$ en 10 ans, soit assez, selon la règle du 4%, pour vous permettre des dépenses annuelles de 32 000$ et ce pour le restant de vos jours!

 

Voilà… une belle retraite Riche et Relaxe en 10 ans!

Alors pourquoi ne pas commencer tout de suite à profiter des avantages des intérêts composés? Même si vous avez déjà plusieurs années de travail derrière la cravate, 10 ans ce n’est pas très long pour assurer votre retraite. Après tout, vaut mieux être riche et à la retraite que pauvre et au travail, n’est-ce pas?

 

 

Qu’en pensez-vous? Est-ce que ces explications vous aident à mieux comprendre les intérêts composés? Est-ce que vous vous sentez inspiré à faire vos propres calculs?

 

 

* Pour les sceptiques, cette citation aurait été attribuée au célèbre Albert Einstein par le Wall Street Journal en 1976, plus de 20 ans après sa mort selon l’article intéressant (en anglais) de Quote Investigator  .  http://quoteinvestigator.com/2011/10/31/compound-interest/

 

 

2 Responses to “Intérêt composé expliqué…mais pas compliqué!”

  1. Woww je me sens content, ces explications sont vraiment interressantes, je ne sais croire dire. Je vous encouge de rester au top niveau. Je vous felicite pour votre courage. Merci

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